Exponentielle Glättung: Wie das Verfahren rechnet und wo es im FMCG an Grenzen stößt

Die exponentielle Glättung berechnet aus der Absatzhistorie eines Artikels die Prognose für die nächste Periode, nach fester Regel. Blind ist sie für Ursachen: Ihre einfache Form behandelt eine Aktionsspitze wie jede andere Nachfrage. Wer weiß, wie viel davon wann ankommt, wählt α bewusst.

Die einfache exponentielle Glättung schätzt die nächste Periode als gewichteten Durchschnitt der bisherigen Werte; jüngere zählen mehr. In der 1. Ordnung gilt: neue Prognose = α × letzter Absatz + (1 − α) × letzte Prognose, mit dem Glättungsfaktor α zwischen 0 und 1. Das Verfahren rechnet nur mit der eigenen Absatzreihe.

Exponentielle Glättung 1. Ordnung: Formel und Glättungsfaktor Alpha

Das Gabler Wirtschaftslexikon beschreibt exponentielles Glätten als Verfahren der kurzfristigen Prognose auf der Grundlage einer Zeitreihe, etwa für die kurzfristige Bedarfsermittlung; es gehört damit zur Zeitreihenprognose. Die Formel der 1. Ordnung lautet:

Prognose für die nächste Woche = α × Absatz dieser Woche + (1 − α) × Prognose für diese Woche

Umgestellt: neue Prognose = alte Prognose + α × (Absatz − alte Prognose). Der Glättungsfaktor α, bei Gabler Glättungskonstante, legt fest, welcher Anteil der letzten Abweichung in die neue Prognose eingeht. Gabler setzt 0 < α < 1, Hyndman und Athanasopoulos lassen auch 0 und 1 zu: Bei α = 1 ist die Prognose der letzte Absatz, bei α = 0 bleibt sie unabhängig vom Absatz beim Startwert.

Hyndman und Athanasopoulos (2021) schreiben dieselbe Formel in ihrem Lehrbuch Forecasting: Principles and Practice als gewichteten Durchschnitt aller bisherigen Werte aus: α × letzter Wert + α(1 − α) × vorletzter Wert + α(1 − α)² × drittletzter Wert und so weiter. Jedes Gewicht ist das (1 − α)-Fache des vorigen, Gabler spricht von einer geometrischen Folge. Bei α = 0,2 erhält die letzte Woche 0,2, die vorletzte 0,16, die drittletzte 0,128; bei α = 0,5 sind es 0,5, 0,25 und 0,125. Daher kommt der Name: Das Gewicht älterer Werte fällt exponentiell.

Zwei Eigenschaften gehören dazu. Erstens braucht die erste Prognose einen Startwert, den Hyndman und Athanasopoulos zusammen mit α schätzen; im Beispiel unten ist er gesetzt. Zweitens liefert die einfache Glättung für alle künftigen Perioden denselben Wert, das letzte geglättete Niveau. Brauchbar ist das laut Hyndman und Athanasopoulos nur für Reihen ohne Trend und ohne Saison.

Das Alpha der Glättung hat mit dem Alpha-Servicegrad nichts zu tun, der den Anteil der Bestellzyklen ohne Fehlmenge misst. Wo die Glättung unter den übrigen Methoden der Absatzprognose steht, ordnet der Artikel zur Absatzprognose im Mittelstand ein.

Exponentielle Glättung Beispiel: eine Aktion, zwei Glättungsfaktoren

Was die Glättung mit einer Aktionsspitze macht, zeigt ein Lehrbeispiel mit gewählten Werten. Es beruht auf diesen Annahmen:

• Ein Artikel verkauft normal 100 Kartons je Woche, die Startprognose ist 100.

• In Woche 3 läuft eine Aktion mit 160 Kartons Absatz, danach verkauft er wieder 100 Kartons je Woche.

• Gerechnet wird ungerundet, angezeigt mit einer Nachkommastelle.

Jede Zeile der Tabelle ist eine Ein-Schritt-Prognose: Sie wird nach Ende der Vorwoche mit deren Absatz erstellt und gilt nur für die folgende Woche.

Die Prognose für Woche 4 lautet bei α = 0,2 also 0,2 × 160 + 0,8 × 100 = 112,0 Kartons, für Woche 5 dann 0,2 × 100 + 0,8 × 112,0 = 109,6. Der Überhang ist die Summe dessen, was die Prognosen der Wochen 4 bis 8 über dem Normalabsatz liegen.

Wie viel von der Aktionsspitze in der Prognose landet

Für die einfache Glättung gilt: Über alle Folgewochen nähert sich der Überhang bei α > 0 den 60 Kartons, um die die Spitze über dem Normalabsatz lag, weil sich die Gewichte α, α(1 − α), α(1 − α)² … zu 1 addieren. Das gilt, solange danach wieder Normalabsatz folgt und die Prognosen ungerundet weitergerechnet werden. Der Überhang ist die Summe der Abweichungen fortlaufender Ein-Schritt-Prognosen, keine zusätzliche Nachfrage und kein Ergebnis einer Prognose über mehrere Wochen. Das α bestimmt nur das Tempo: Mit α = 0,5 sind nach fünf Wochen 58,1 der 60 Kartons weitergereicht, mit α = 0,2 erst 40,3. Bei α = 0 bleibt die Prognose beim Startwert, die Spitze geht gar nicht ein.

Zwei Voraussetzungen stecken darin. Wird jede Prognose auf ganze Kartons gerundet und mit dem gerundeten Wert weitergerechnet, bleibt sie im Beispiel bei 102 (α = 0,2) beziehungsweise 101 Kartons (α = 0,5) stehen. Und der Startwert darf nicht selbst aus einer Aktion stammen: Wird der Absatz einer Einführungsaktion von 160 Kartons als Startwert gesetzt, summiert sich der Überhang auf 60 geteilt durch α, bei α = 0,2 also auf 300 Kartons.

Eine einmalig nach Woche 3 erstellte Prognose sieht anders aus. Sie liegt für alle Folgewochen bei 112,0 beziehungsweise 130,0 Kartons, weil die einfache Glättung für jeden Horizont dasselbe Niveau liefert. Wer nach Woche 3 für vier Wochen im Voraus bestellt, plant damit 48 beziehungsweise 120 Kartons über dem Normalabsatz ein; bei α = 0,5 ist das doppelt so viel, wie die Spitze über dem Normalabsatz lag.

Umgekehrt wirkt eine Fehlmenge. Werden in Woche 3 bei unveränderter Nachfrage von 100 Kartons mangels Ware nur 40 verkauft, sinkt die Prognose für Woche 4 auf 88,0 Kartons bei α = 0,2 und auf 70,0 bei α = 0,5. Das zeigt keine Nachfrageschwäche, sondern eine Verzerrung: Erfasst ist der Absatz, nicht die Nachfrage. Über die Folgewochen liegen die fortlaufenden Prognosen in Summe um die 60 Kartons der Fehlmenge zu niedrig.

Glättungsfaktor Alpha wählen: schätzen, dann prüfen

Bei kleinem α erhalten laut Hyndman und Athanasopoulos weiter zurückliegende Werte mehr Gewicht, bei großem α die jüngsten. Ein hohes α reagiert deshalb schnell auf Veränderungen, aber auch auf Zufall; ein niedriges α glättet Zufall weg und läuft echten Veränderungen hinterher. Welches α passt, lässt sich aus der Reihe bestimmen, und zwar in zwei Schritten.

Schätzen: Hyndman und Athanasopoulos bestimmen α und den Startwert so, dass die Summe der quadrierten Ein-Schritt-Fehler am kleinsten wird. Ein Ein-Schritt-Fehler ist der Absatz einer Woche minus der Prognose, die eine Woche vorher für sie erstellt wurde.

Prüfen: Ob das geschätzte α trägt, zeigt sich laut Hyndman und Athanasopoulos nur an Daten, die für die Schätzung nicht genutzt wurden; ein Modell, das die Vergangenheit gut nachzeichnet, prognostiziert nicht zwingend gut. Geprüft wird deshalb an späteren Wochen und, wenn die Disposition mehrere Wochen vorausplant, mit Fehlern über diesen Horizont statt nur eine Woche voraus. Welche Fehlermaße sich dafür eignen, zeigt der Artikel zur Forecast Accuracy.

Vor beiden Schritten gehören Aktions- und Fehlmengenwochen markiert und für die Rechnung ersetzt. Hyndman und Athanasopoulos halten fest, dass keines ihrer Verfahren mit extremen Ausreißern gut funktioniert, und warnen davor, Ausreißer zu ersetzen, ohne über ihre Ursache nachzudenken. Übertragen auf Aktions- und Fehlmengenwochen heißt das: Gehen sie unverändert ein, passt sich α an Wochen an, deren Ursache das Verfahren nicht kennt.

Exponentielle Glättung 2. Ordnung, Holt-Winters und Excel

Die einfache Glättung erfasst nur ein Niveau. Liegt ein linearer Trend vor, ist sie nach Gabler zu erweitern; die Varianten im Überblick:

Bei der 2. Ordnung nach Brown werden die Glättungswerte der 1. Ordnung noch einmal geglättet, so beschreibt es Schröder (2012) in der Prognoserechnung von Mertens und Rässler. Aus beiden Glättungswerten S¹ und S² ergeben sich ein Achsenabschnitt 2S¹ − S² und eine Steigung α / (1 − α) × (S¹ − S²); die Prognose für i Perioden voraus ist Achsenabschnitt plus Steigung mal i. Schröder schreibt den Glättungsfaktor als A und zeigt, dass Brown ein Sonderfall des Modells von Holt ist. Holt rechnet laut Hyndman und Athanasopoulos mit zwei Glättungsgleichungen, eine für das Niveau und eine für den Trend, jede mit eigenem Faktor.

Bei Brown und Holt wirkt die Aktionsspitze auch auf den Trend. In fortlaufenden Ein-Schritt-Prognosen steigt die Prognose nach der Aktion deshalb stärker als bei der 1. Ordnung mit gleichem Glättungsfaktor und fällt danach unter den Normalabsatz; das zeigt eine eigene Rechnung mit dem Beispiel, mit Startwerten ohne Trend.

In Summe ergibt sich auch hier die Spitze, aber aus Überschätzung und späterer Unterschätzung. Eine einmalig nach der Aktion erstellte Prognose über mehrere Wochen schreibt die Spitze als Trend fort und steigt mit jeder Woche. Dass α nur das Tempo bestimmt, gilt deshalb nur für die 1. Ordnung.

Holt-Winters ergänzt laut Hyndman und Athanasopoulos eine dritte Gleichung für die Saison. Dafür braucht die Reihe mindestens zwei vollständige Saisonzyklen, und bewegliche Feiertage verlangen eine Korrektur über den Kalender, wie der Artikel zur Saisonalität in der Prognose zeigt. Bei Wochendaten mit Jahressaison, also rund 52 Perioden je Zyklus, kommen laut Hyndman und Athanasopoulos die meisten ihrer Verfahren mit einer so langen Saisonperiode nicht effizient zurecht.

Exponentielle Glättung in Excel: Zellformel und PROGNOSE.ETS

Die Tabelle oben lässt sich mit einer Zellformel exakt nachrechnen. Stehen die Wochenabsätze in Spalte B ab Zeile 2, beginnend mit Woche 3, α in Zelle F1 und der Startwert in C2, gehört in C3 die Formel =$F$1*B2+(1-$F$1)*C2, die nach unten gezogen wird; C3 liefert dann die Prognose für Woche 4. Mit 0,2 in F1 entsteht die Spalte für α = 0,2. Für die zweite Spalte daneben kommen 0,5 in G1, der Startwert in D2 und in D3 die Formel =$G$1*B2+(1-$G$1)*D2. Gerundet wird nur über das Zellformat, nicht in der Formel.

Die Funktion PROGNOSE.ETS rechnet dagegen nach eigenem Verfahren. Microsoft beschreibt sie als „AAA-Version des ETS-Algorithmus (Exponentielles Glätten)“; ihre Syntax lautet PROGNOSE.ETS(Ziel_Datum;Werte;Zeitachse;[Saisonalität];[Daten_Vollständigkeit];[Aggregation]). Ein Argument für α gibt es nicht, Excel bestimmt den Wert selbst und gibt ihn über PROGNOSE.ETS.STAT aus. Im Standard erkennt die Funktion eine Saison automatisch; mit Saisonalität 0 ist die Vorhersage laut Microsoft „linear“. Die Werte der Tabelle lassen sich mit PROGNOSE.ETS deshalb nicht nachrechnen. Fehlende Zeitpunkte ersetzt die Funktion im Standard durch den Mittelwert der benachbarten Punkte; Wochen ohne Absatz gehören deshalb als 0 in die Reihe, nicht als Lücke.

Wo die exponentielle Glättung im FMCG an Grenzen stößt

Die Glättung rechnet mit dem, was in der Reihe steht. Drei Situationen im FMCG-Geschäft liegen genau dort, wo die Reihe allein nicht reicht.

Aktionen und Fehlmengen wandern in die Prognose

Das Beispiel oben zeigt beide Richtungen. Eine Aktionsspitze hebt die fortlaufenden Ein-Schritt-Prognosen der Folgewochen, bei der einfachen Glättung in Summe um die gesamte Spitze, sofern danach wieder Normalabsatz folgt. Folgt auf die Aktion ein Nachlauf, etwa weil Kunden einen Kauf vorgezogen haben, wie der Artikel zu Promotions in der Absatzprognose beschreibt, geht diese Delle mit umgekehrtem Vorzeichen ebenso ein. Eine ausverkaufte Woche oder eine Teilbelieferung senkt die Prognose, obwohl die Nachfrage gleich geblieben ist.

Ein Kennzeichen allein ändert daran nichts, denn die einfache Glättung kann es nicht lesen. Für die Glättung wird der Absatz markierter Wochen deshalb durch eine Normalmenge ersetzt, etwa durch die Prognose dieser Woche; dann bleibt die Prognose unverändert. Die Originalmenge bleibt mit Kennzeichen in der Historie stehen. Wie Fehlmengen aus der Historie herausgerechnet werden, zeigt der Artikel zur Stockout-Verzerrung. Die Prüffrage: Sind Aktions- und Fehlmengenwochen markiert und für die Glättung ersetzt?

Langsamdreher: sporadischer Bedarf

Im breiten Sortiment gibt es Artikel, die nur wenige Abnehmer führen: viele Wochen ohne Bestellung, dann eine Nachbestellung von einigen Kartons. Für solche Reihen hat die einfache Glättung nach Syntetos (2022), in der Übersicht Forecasting: theory and practice, eine im Verfahren angelegte Schwäche: Sie erkennt nicht, dass sporadischer Bedarf aus zwei Teilen besteht, dem Abstand zwischen zwei Bedarfen und der Menge, wenn Bedarf auftritt. Wie Syntetos zusammenfasst, hat Croston (1972) gezeigt, dass die einfache Glättung deshalb nach einer Periode mit Bedarf nach oben verzerrt ist, und ein Verfahren vorgeschlagen, das Menge und Abstand getrennt glättet.

Saison, Feiertage und Wetter

Die einfache Glättung kennt keine Saison. Ein Saisonanstieg oder eine Hitzewelle geht erst in die Prognose ein, nachdem er in der Reihe steht: in der Folgewoche mit dem Anteil α, danach schrittweise. Bei einem anhaltenden Anstieg läuft die Prognose umso länger hinterher, je kleiner α ist; ist die Hitzewelle bei wetterabhängigen Saisonartikeln vorbei, trägt die Prognose sie wie eine Aktionsspitze in die Folgewochen. Holt-Winters bildet eine wiederkehrende Saison ab, mit den oben genannten Voraussetzungen. Bewegliche Feiertage wie Ostern fallen jedes Jahr in eine andere Woche und passen nicht in einen festen Saisonindex.

Mit Circly: Absatzprognosen mit Aktionen, Feiertagen und Fehlbestandsperioden

Circly Absatzprognosen liefert KI-generierte Absatzprognosen auf Artikelebene, die Saisonalität, Trends, Kalendereffekte, Feiertage, Aktionen und Ausreißer automatisch einbeziehen, ohne manuelle Datenpflege durch den Kunden. Fehlbestandsperioden in der Historie werden gesondert behandelt und nicht als Nullnachfrage gewertet. Aktionen und Sonderereignisse können manuell hinterlegt werden und fließen direkt ins Modell ein. Die Prognosen werden täglich auf Basis aktueller ERP-Daten via API aktualisiert, ohne manuellen Datenexport und ohne Medienbruch; die Prognose ist aktuell, wenn die Disposition beginnt.

Fazit

Die Glättung rechnet sauber mit dem, was in der Reihe steht; wer Aktionen und Fehlmengen nicht vorher markiert, glättet sie mit. Die Reihenfolge ergibt sich daraus.

Zuerst wird die Reihe gelesen: Welche Wochen sind Aktionen, welche Fehlmengen, gibt es Trend, Saison oder viele Nullwochen? Aktions- und Fehlmengenwochen werden markiert und für die Glättung ersetzt. Erst dann lässt sich entscheiden, ob die 1. Ordnung genügt oder eine Variante mit Trend und Saison nötig ist. Zuletzt werden α und Startwert geschätzt und an Wochen geprüft, die für die Schätzung nicht genutzt wurden, über den Horizont, den die Disposition braucht.

Weiterführende Quellen

1. Hyndman, R. J. & Athanasopoulos, G. (2021): Forecasting: Principles and Practice, 3. Auflage, OTexts

2. Gabler Wirtschaftslexikon, Wübbenhorst, K. & Kamps, U. (2018): exponentielles Glätten

3. Schröder, M. (2012): Einführung in die kurzfristige Zeitreihenprognose und Vergleich der einzelnen Verfahren, in: Mertens, P. & Rässler, S. (Hrsg.): Prognoserechnung, Physica, Leseprobe

4. Syntetos, A. A., in Petropoulos, F. u. a. (2022): Forecasting: theory and practice, International Journal of Forecasting, Abschnitt 2.8.1

5. Microsoft Support: PROGNOSE.ETS (Funktion)

6. Microsoft Support: PROGNOSE.ETS.STAT (Funktion)

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